Ziffern und Zahlen

Der Unterschied zwischen Zahl und Ziffer ist leicht erklärt: Ziffern sind einstellige Symbole, die die Zahlen 0 bis 9 repräsentieren. Wenn sie alleinstehend aufgeführt werden, sind sie Ziffern. Zum Beispiel: 1, 5, oder 9.

Zahlen hingegen bestehen aus mindestens zwei oder mehr Ziffern, die zusammengesetzt werden. Eine Zahl kann aus einer einzigen Ziffer bestehen oder mehrere Ziffern kombinieren. Zum Beispiel ist 25 eine Zahl, die aus den Ziffern Zwei und Fünf zusammengesetzt ist. Die Position der Ziffern im Dezimalsystem (Stellenwertsystem) bestimmt dabei ihren Wert. Natürliche Zahlen sind durch Axiome definiert.

Denk daran: Ziffern sind die Bausteine, aus denen Zahlen entstehen!

Zahlenmengen

Es gibt verschiedene Zahlenmengen, die jeweils unterschiedliche Arten von Zahlen umfassen. Hier sind die wichtigsten:

1. Natürliche Zahlen (ℕ): Diese repräsentieren positive ganze Zahlen, mit denen wir Dinge aus der Natur abzählen können. Beispiele sind 1, 2, 3, ... 
2. Ganze Zahlen (ℤ): Diese umfassen die natürlichen Zahlen zusammen mit ihren negativen Gegenstücken und der Zahl 0. Das Symbol für ganze Zahlen ist ℤ.
3. Rationale Zahlen (ℚ): Diese bestehen aus ganzen Zahlen und Brüchen, bei denen sowohl im Nenner als auch im Zähler ganze Zahlen stehen. Sie werden oft mit dem Symbol ℚ abgekürzt.
4. Irrationale Zahlen: Diese sind nicht rational und können nicht als Brüche ganzer Zahlen geschrieben werden. Beispiele sind die die Wurzel aus 2 oder die Kreiszahl π (PI). 
5. Reelle Zahlen (ℝ): Die Vereinigung aus rationalen und irrationalen Zahlen ergibt die reellen Zahlen. Diese repräsentieren alle möglichen Werte auf der Zahlengeraden.
6. Komplexe Zahlen (ℂ): Diese erweitern die reellen Zahlen um imaginäre Einheiten. Sie haben die Form a + bi, wobei a und b reale Zahlen sind und i die imaginäre Einheit (i² = -1) ist. Dies Zahlen brauchst du erst in der Oberstufe.

 

Römische Zahlen

Römische Zahlen sind ein altes Zahlensystem, das im antiken Rom verwendet wurde. Es besteht aus sieben Grundzeichen: I, V, X, L, C, D und M, die verschiedenen Werten entsprechen. I steht für 1, V für 5, X für 10, L für 50, C für 100, D für 500 und M für 1000. Um größere Zahlen zu bilden, werden diese Zeichen kombiniert und Regeln für die Addition und Subtraktion angewendet. Wenn ein kleineres Zeichen rechts von einem größeren steht, werden die Werte addiert. Zum Beispiel ist VI gleich 6 (V + I = 5 + 1). Wenn ein kleineres Zeichen links von einem größeren steht, wird der Wert des kleineren Zeichens vom Wert des größeren subtrahiert. Zum Beispiel ist IV gleich 4 (V - I = 5 - 1). Die Zeichen werden von links nach rechts in absteigender Wertigkeit gelesen, wobei das größte Zeichen zuerst kommt. Ein Zeichen kann maximal dreimal wiederholt werden. Wenn ein Zeichen mehr als dreimal wiederholt werden muss, wird die Zahl durch Anhängen eines Balkens (Strich) über dem Zeichen dargestellt, was seine Wertigkeit vervierfacht. Beispielsweise repräsentiert V mit einem Strich über dem V die Zahl 5000. 

 

Primzahlen

Primzahlen sind ganze Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar sind. Mit anderen Worten, eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler: 1 und die Zahl selbst. Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge lauten 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.....es gibt unendlich viele Primzahlen. Jonathan Pace, ein Elektroingenieur aus der USA, hat die größte bislang bekannte Primzahl der Welt gefunden. Sie lautet 2^77232917-1. 

Primzahlen spielen eine wichtige Rolle in der Mathematik und Informatik, insbesondere in der Kryptographie, da viele Verschlüsselungsalgorithmen auf der Schwierigkeit basieren, große Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen. (Teilbarkeitsregeln)

Fibonacci-Zahlen

Die Fibonacci-Zahlen sind eine Folge von Zahlen, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorherigen Zahlen ist. Die Sequenz beginnt mit den Zahlen 0 und 1. Daher 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5......

Die ersten paar Fibonacci-Zahlen sehen folgendermaßen aus:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ...

Formal kann die Fibonacci-Folge durch die rekursive Relation F(n) = F(n-1) + F(n-2) definiert werden, wobei F(0) = 0 und F(1) = 1 sind. Hierbei steht F(n) für die n-te Fibonacci-Zahl. Die Fibonacci-Folge taucht in verschiedenen Bereichen der Mathematik, Naturwissenschaften (Videolink) und Informatik auf. Sie hat Anwendungen in der Kombinatorik, der Wahrscheinlichkeitstheorie, beim Wachstum von Pflanzen und vielen anderen Bereichen der Naturwissenschaften.

 

Pi  - π - die Kreiszahl

π (Pi) ist eine mathematische Konstante, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser beschreibt. Es ist eine irrationale Zahl, was bedeutet, dass sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann, und sie ist auch eine transzendente Zahl, was bedeutet, dass sie keine algebraische Gleichung mit rationalen Koeffizienten erfüllt.

Der Wert von π ist ungefähr 3,14159..., aber es handelt sich um eine unendliche Dezimalzahl, die nicht periodisch ist. Aufgrund ihrer wichtigen Rolle in der Geometrie, Trigonometrie und verschiedenen mathematischen Anwendungen wird π in vielen mathematischen Formeln und Berechnungen verwendet. Es ist eine der bekanntesten und am häufigsten verwendeten mathematischen Konstanten. Sie wird auch Archimedes-Konstante genannt.

Bruchzahl - Dezimalzahl - Prozentzahl

Bruchzahlen und Dezimalzahlen sind zwei verschiedene Darstellungsformen von Zahlen, die in der Mathematik häufig vorkommen.
Eine Bruchzahl ist eine Darstellung von Zahlen als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen, dem Zähler und dem Nenner, getrennt durch einen Bruchstrich. Zum Beispiel 3/4, wobei 3 der Zähler und 4 der Nenner sind. Bruchzahlen ermöglichen die präzise Darstellung von Teilen eines Ganzen. Der Wert eines echten Bruches ist immer kleiner als 1.

Dezimalzahlen hingegen sind Zahlen mit einem Dezimalkomma oder  Dezimalpunkt (USA), der den Bereich zwischen den ganzzahligen und den dezimalen Teilen einer Zahl trennt. Zum Beispiel ist 0,75 eine Dezimalzahl, wobei 0 der ganzzahlige Teil und 75 der dezimale Teil ist. Dezimalzahlen sind nützlich, wenn Präzision notwendig ist, aber nicht unbedingt eine genaue Bruchzahl erforderlich ist.

Man unterscheidet zwischen endlichen Dezimalzahlen, unendelichen Dezimalzahlen und periodischen Dezimalzahlen. Dezimalzahlen, die eine endliche Anzahl von Nachkommastellen haben, werden als endliche Dezimalzahlen (z.B.: 3,17) bezeichnet. Dezimalzahlen, die eine unendliche Anzahl von Nachkommastellen haben, ohne ein sich wiederholendes Muster, werden als unendliche Dezimalzahlen (z.B.: 4,82313..... π (pi) = 3,14159...; √2 = 1,41421356... ) bezeichnet. Sie gehören zu den irrationalen Zahlen, sie können nicht als Brüche ganzer Zahlen dargestellt werden.  Dezimalzahlen, die eine unendliche Anzahl von Nachkommastellen haben, wobei sich ein oder mehrere Ziffernmuster wiederholen, werden als periodische Dezimalzahlen bezeichnet. Zum Beispiel: 0,333... (wiederholend 3); 0,123123123... (wiederholend 123); usw. Zur vereinfachten Darstellung wird über die wiederholende Periode wird oberhalb der Ziffern ein Punkt (nur bei einer einzelnen Ziffer) bzw. ein Strich gesetzt.

Jede Bruchzahl kann in eine Dezimalzahl, jede Dezimalzahl kann in eine Bruchzahl verwandelt werden. Prozente können von ihnen abgeleitet werden. (Übersicht der Umwandlungen) In diesem Zusammenhang wollen wir auch die Umwandlung von Einheiten hinweisen.

Die Prozentzahl (der Prozentsatz, kurz auch Prozente bezeichnet) ist eine Darstellung eines Anteils in Hundertsteln. Das Prozentzeichen "%" wird verwendet, um Prozentzahlen zu kennzeichnen. Zum Beispiel repräsentiert die Zahl "50%" die Hälfte oder 50 von 100 Teilen einer Gesamtmenge. Um die Prozente zu ermitteln, multiplizierst du die jeweilige Dezimalzahl mit dem Faktor 100. 0,75  entsprechen daher 75%. 

Lerne nachfolgende Tabelle unbedingt auswendig. Wie das kleine 1 mal 1 sind diese magischen Zahlen wichtige Bausteine deines mathematischen Wissens.

Quadratzahlen und Kubikzahlen

Quadratzahlen sind Zahlen, die sich aus der Multiplikation einer Zahl mit sich selbst ergeben, während Kubikzahlen die dritte Potenz einer Zahl sind. Sie haben vielfältige Anwendungen in der Geometrie und der Physik.

Ausgangszahl	1	2	3	4	5	6	10
Quadratzahl	1	4	9	16	25	36	100
Kubikzahl	1	8	27	64	125	216	1000

 

Was gibt es noch für besondere Zahlen

Die lange Liste der jeweils besonderen Zahlen, jede mit einzigartigen Eigenschaften und Anwendungen, würde die Länge des Artikels bei weitem sprengen. Kurz erwähnen wollen wir zum Abrunden des Artikels:

Eulersche Zahl:  Die Eulersche Zahl ist eine irrationale Zahl, die etwa 2,71828 beträgt. Sie spielt eine wichtige Rolle in der Analysis und der exponentiellen Funktion. Die Beziehung zwischen  der eulerschen Zahl, dem natürlichen Logarithmus und exponentiellem Wachstum ist von wichtiger Bedeutung in der Mathematik.

Goldener Schnitt: Der Goldene Schnitt ist eine irrationale Zahl, die etwa 1,61803 beträgt. Er hat interessante geometrische und ästhetische Eigenschaften und taucht in vielen natürlichen Formen und Kunstwerken auf.

Transzendente Zahlen: Transzendente Zahlen wie PI oder die Eulersche Zahl sind Zahlen, die nicht die Lösungen einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sind. Es gibt unendlich viele transzendente Zahlen, und sie haben wichtige Auswirkungen in der Mathematik.

Katalanische Zahlen: Diese Zahlen tauchen in verschiedenen Kombinatorik- und Graphentheorieproblemen auf. Sie repräsentieren beispielsweise die Anzahl der möglichen gültigen Klammerungen.

Harmonische Zahlen: Die harmonischen Zahlen sind die Summen der reziproken ganzen Zahlen. Sie tauchen in verschiedenen mathematischen Analysen und Anwendungen auf.

Wichtig zum Schluss: Die Lösung ist immer 42 (Murphys Gesetz) und durch 0 darf man niemals dividieren.